Para manter as configurações de suas apis do Amazon API Gateway replicadas para uma outra região de modo a permitir rapidamente subir um novo ambiente temos os seguintes passos em alto nível que podem ser seguidos:
Exportar a API do Amazon API Gateway em um arquivo Swagger ou equivalente usando funcionalidade disponível do próprio serviço.
Copiar o arquivo de definição para a região destino usando ferramentas padrão como CP, FTP, rsynch, etc.
Importar o arquivo para criar uma nova API no API Gateway na região de destino. Por se tratar de solução serverless, o simples fato de criar a API não incorre em custos se não houver tráfego na api.